Три задачки

[mathclimber]

из моих любимых:

1. Бросаем случайным образом 4 точки на сферу. Какова вероятность, что центр сферы попадёт внутрь тетраэдра с вершинами в этих точках?

2. На плоскости нарисована клякса площадью меньше единицы. Доказать, что её можно сдвинуть так, что она не будет закрывать ни одну точку с целыми координатами.

3. В стране Анчурии проходит математический конгресс, в котором принимают участие 100 математиков. За несколько дней до окончания конгресса в оной стране происходит переворот и военная хунта захватывает власть. Глава хунты, полковник Фидель Аугусто Чавес, приказывает всех математиков арестовать. Но полковник, в сущности, добрейшей души человек. Вот он приходит в тюрьму к математикам, и говорит такую речь:
"Мы тут, разумеется, решили вас всех расстрелять. Но я хочу дать вам шанс. В соседней комнате лежит 100 карточек. На одной стороне у них числа от 1 до 100, а на обратной - ваши имена. Вы будете по одному заходить в комнату, где карточки будут лежать числами вверх. Каждый может перевернуть 95 карточек. Если каждый из вас, переворачивая карточки, найдет свое собственное имя - тогда всех прикажу отпустить. А вот если хоть один не найдет - тогда уж всех расстреляют..."
Оцените шансы того, что для математиков все кончится хорошо.

Поясню условие последней задачи: на каждой карточке только одно имя и только одно число, числа и имена не повторяются. Каждый проходит через комнату с карточками один и только один раз. Перед началом процесса математики могут между собой договориться о чем угодно, но тот, кто уже прошел через комнату, не может передать никакой информации остальным (и, перед тем как зайдет следующий, карточки переворачивают обратно числами вверх). Естественно, карточки непрозрачны, и на них ничего рисовать нельзя. Менять их расположение тоже смысла нет - все равно к приходу следующего все перемешают.


Все можно решить в уме, даже первую, хоть она и была типа самой сложной задачей на какой-то международной олимпиаде. В третьей главное стратегию придумать, и сразу станет ясно, что шансы не так плохи, как кажется.


Это я прочитал http://avva.livejournal.com/2672659.html, и тоже решил поделиться :)

Comments

[--cara--.livejournal.com]

А отвееетыыыы???)

[butbka.livejournal.com]

Во второй формулировка более сильная: клякса может состоять из произвольного числа "подклякс". Суммарная площадь меньше единицы.

[yudaev.livejournal.com]

Вторая простая.
Ниже решение.


Я попробовал написать белым по белому. Видно? ;)

[yudaev.livejournal.com]

В третьей: у полковника есть паспорта математиков? Что такое "имя", это только имя, или имя и фамилия (aka уникальный id)?

[yudaev.livejournal.com]

Тут возможное решение третьей задачи, записанное молоком на полях :)

Вот.

[yudaev.livejournal.com]

Насчет первой задачи, снова молоком, чтоб случайно в глаза не бросалось :)

Вот. На Ваши задачки никакой шоколадки не хватит!

[falcao.livejournal.com]

А задачу про 10 монет Вы знаете? Есть 10 точек на плоскости; надо доказать, что их можно накрыть десятью одинаковыми монетами. Идея доказательства там в чём-то напоминает идею из задачи с кляксой, но слегка посложнее.

[plinioseviltwin.livejournal.com]

3 - 357227599/376437600?

[mathclimber.livejournal.com]

Вот стратегия для третьей задачи:

Все математики должны пронумероваться, и каждый перед заходом в комнату берёт с собой список соответствия номеров и имен. Дальше, первым делом надо открыть карточку, с номером, соответствующим собственному имени в списке (составленном самими математиками). Взяв первую карточку, обнаружим с другой стороны одно из имен и, подсмотрев в свой список соответствия, берём следующим именно то число, которое соответствует открывшемуся имени. И так далее, по цепочке. Пока цикл не замкнётся; но в момент, когда он замкнётся, математик откроет карточку с собственным именем!

Нетрудно видеть, что вероятность успеха получается 1 - 1/100 - 1/99 - 1/98 - 1/97 - 1/96 (т.е. вероятность, что случайная перестановка не имеет циклов длины 100, 99, 98, 97, 96). В общем, неплохие у них шансы :)