Три задачки
Sep. 13th, 2013 08:10 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
mathclimberиз моих любимых:
1. Бросаем случайным образом 4 точки на сферу. Какова вероятность, что центр сферы попадёт внутрь тетраэдра с вершинами в этих точках?
2. На плоскости нарисована клякса площадью меньше единицы. Доказать, что её можно сдвинуть так, что она не будет закрывать ни одну точку с целыми координатами.
3. В стране Анчурии проходит математический конгресс, в котором принимают участие 100 математиков. За несколько дней до окончания конгресса в оной стране происходит переворот и военная хунта захватывает власть. Глава хунты, полковник Фидель Аугусто Чавес, приказывает всех математиков арестовать. Но полковник, в сущности, добрейшей души человек. Вот он приходит в тюрьму к математикам, и говорит такую речь:
"Мы тут, разумеется, решили вас всех расстрелять. Но я хочу дать вам шанс. В соседней комнате лежит 100 карточек. На одной стороне у них числа от 1 до 100, а на обратной - ваши имена. Вы будете по одному заходить в комнату, где карточки будут лежать числами вверх. Каждый может перевернуть 95 карточек. Если каждый из вас, переворачивая карточки, найдет свое собственное имя - тогда всех прикажу отпустить. А вот если хоть один не найдет - тогда уж всех расстреляют..."
Оцените шансы того, что для математиков все кончится хорошо.
Поясню условие последней задачи: на каждой карточке только одно имя и только одно число, числа и имена не повторяются. Каждый проходит через комнату с карточками один и только один раз. Перед началом процесса математики могут между собой договориться о чем угодно, но тот, кто уже прошел через комнату, не может передать никакой информации остальным (и, перед тем как зайдет следующий, карточки переворачивают обратно числами вверх). Естественно, карточки непрозрачны, и на них ничего рисовать нельзя. Менять их расположение тоже смысла нет - все равно к приходу следующего все перемешают.
Все можно решить в уме, даже первую, хоть она и была типа самой сложной задачей на какой-то международной олимпиаде. В третьей главное стратегию придумать, и сразу станет ясно, что шансы не так плохи, как кажется.
Это я прочитал http://avva.livejournal.com/2672659.html, и тоже решил поделиться :)
1. Бросаем случайным образом 4 точки на сферу. Какова вероятность, что центр сферы попадёт внутрь тетраэдра с вершинами в этих точках?
2. На плоскости нарисована клякса площадью меньше единицы. Доказать, что её можно сдвинуть так, что она не будет закрывать ни одну точку с целыми координатами.
3. В стране Анчурии проходит математический конгресс, в котором принимают участие 100 математиков. За несколько дней до окончания конгресса в оной стране происходит переворот и военная хунта захватывает власть. Глава хунты, полковник Фидель Аугусто Чавес, приказывает всех математиков арестовать. Но полковник, в сущности, добрейшей души человек. Вот он приходит в тюрьму к математикам, и говорит такую речь:
"Мы тут, разумеется, решили вас всех расстрелять. Но я хочу дать вам шанс. В соседней комнате лежит 100 карточек. На одной стороне у них числа от 1 до 100, а на обратной - ваши имена. Вы будете по одному заходить в комнату, где карточки будут лежать числами вверх. Каждый может перевернуть 95 карточек. Если каждый из вас, переворачивая карточки, найдет свое собственное имя - тогда всех прикажу отпустить. А вот если хоть один не найдет - тогда уж всех расстреляют..."
Оцените шансы того, что для математиков все кончится хорошо.
Поясню условие последней задачи: на каждой карточке только одно имя и только одно число, числа и имена не повторяются. Каждый проходит через комнату с карточками один и только один раз. Перед началом процесса математики могут между собой договориться о чем угодно, но тот, кто уже прошел через комнату, не может передать никакой информации остальным (и, перед тем как зайдет следующий, карточки переворачивают обратно числами вверх). Естественно, карточки непрозрачны, и на них ничего рисовать нельзя. Менять их расположение тоже смысла нет - все равно к приходу следующего все перемешают.
Все можно решить в уме, даже первую, хоть она и была типа самой сложной задачей на какой-то международной олимпиаде. В третьей главное стратегию придумать, и сразу станет ясно, что шансы не так плохи, как кажется.
Это я прочитал http://avva.livejournal.com/2672659.html, и тоже решил поделиться :)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2013-09-16 09:44 am (UTC)no subject
Date: 2013-09-16 12:12 pm (UTC)текст
Вроде, работает?..
no subject
Date: 2013-09-16 12:46 pm (UTC)Люблю такие задачки. Но чувствуется, что "давно не брал я в руки шашки" :).
Про первую задачку так и хочется дать стандартный ответ: 1/2 либо попадет, либо не попадет ;).
Но после подсказки, что можно решить без интегралов появилась идея подобной же сложности:
Бросаем случайным образом на сферу для начала 3 точки, пусть будут а, б и с и проецируем их через центр о на противоположную сторону сферы: а", б" и с". Если рассмотреть точки а, б, о, а" и б", то очевидно, что они лежат на плоскости большого круга точно также как группы точкек б, с, б", с" и с, а, с", а". Таким образом получили сферический треугольник а"б"с". Для того, чтобы центр сферы оказался внутри тетраэдра абсд необходимо и достаточно, чтобы вершина д лежала внутри сферического треугольника а"б"с". Три больших круга делят сферу на восемь сферических треугольников, значит вероятность того, что точка д попадет в один такой конкретный сферический треугольник - 1/8.
Про кляксу тоже без формул?
no subject
Date: 2013-09-16 05:52 pm (UTC)ИМХО, в этом решении не хватает фразы о случайном равномерном выборе одного из восьми треугольников.
Наверно так?
no subject
Date: 2013-09-16 08:32 pm (UTC)