Три задачки

[mathclimber]

из моих любимых:

1. Бросаем случайным образом 4 точки на сферу. Какова вероятность, что центр сферы попадёт внутрь тетраэдра с вершинами в этих точках?

2. На плоскости нарисована клякса площадью меньше единицы. Доказать, что её можно сдвинуть так, что она не будет закрывать ни одну точку с целыми координатами.

3. В стране Анчурии проходит математический конгресс, в котором принимают участие 100 математиков. За несколько дней до окончания конгресса в оной стране происходит переворот и военная хунта захватывает власть. Глава хунты, полковник Фидель Аугусто Чавес, приказывает всех математиков арестовать. Но полковник, в сущности, добрейшей души человек. Вот он приходит в тюрьму к математикам, и говорит такую речь:
"Мы тут, разумеется, решили вас всех расстрелять. Но я хочу дать вам шанс. В соседней комнате лежит 100 карточек. На одной стороне у них числа от 1 до 100, а на обратной - ваши имена. Вы будете по одному заходить в комнату, где карточки будут лежать числами вверх. Каждый может перевернуть 95 карточек. Если каждый из вас, переворачивая карточки, найдет свое собственное имя - тогда всех прикажу отпустить. А вот если хоть один не найдет - тогда уж всех расстреляют..."
Оцените шансы того, что для математиков все кончится хорошо.

Поясню условие последней задачи: на каждой карточке только одно имя и только одно число, числа и имена не повторяются. Каждый проходит через комнату с карточками один и только один раз. Перед началом процесса математики могут между собой договориться о чем угодно, но тот, кто уже прошел через комнату, не может передать никакой информации остальным (и, перед тем как зайдет следующий, карточки переворачивают обратно числами вверх). Естественно, карточки непрозрачны, и на них ничего рисовать нельзя. Менять их расположение тоже смысла нет - все равно к приходу следующего все перемешают.


Все можно решить в уме, даже первую, хоть она и была типа самой сложной задачей на какой-то международной олимпиаде. В третьей главное стратегию придумать, и сразу станет ясно, что шансы не так плохи, как кажется.


Это я прочитал http://avva.livejournal.com/2672659.html, и тоже решил поделиться :)

Comments

[plinioseviltwin.livejournal.com]

Тоже в тему, но я имел в виду другой.

Ведущий перед зрителем раскладывает веером колоду, рубашкой вверх. Просит зрителя показать, например, десятку пик (карты произвольные и каждый раз разные). Зритель показывает на карту пальцем, ведущий забирает ее себе в руку. Затем ведущий просит показать еще какую-нибудь карту, например, семерку треф, зритель показывает, ведущий забирает в руку. Дальше ведущий говорит "Ну а короля червей я покажу сам" и забирает в руку еще одну карту. Затем ведущий вскрывает руку, и там оказывается правильный набор.

Как ему это удалось? Перед тем, как разложить колоду, во время перемешивания, ведущий запоминает одну из карт (десятка пик) и ее местоположение. Проще всего подсмотреть самую нижнюю карту, но при определенной ловкости можно запомнить и карту из середины колоды. А дальше понятно.

Разница в том, что тут цикл действительно замыкается, нету такого, что "звезды не так сошлись". Думаю, что Ваш фокус я бы раскусил сразу, о вот описанный выше, когда мне его показывали, я сразу не раскусил :)

[mathclimber.livejournal.com]

Забавный фокус! Но моя жена его сразу раскусила :)

[netot42.livejournal.com]

существует "неприятная" возможность того, что игрок случайно попадет на подсмотренную карту - она тем меньше, чем больше карт на столе - для ее минимизации выложим полную колоду - а тут уже можно и не подсматривать :)))

[mathclimber.livejournal.com]

Если он случайно попадёт на эту карту - то тогда фокус закончен, к всеобщему удивлению и удовольствию :)