Три задачки

[mathclimber]

из моих любимых:

1. Бросаем случайным образом 4 точки на сферу. Какова вероятность, что центр сферы попадёт внутрь тетраэдра с вершинами в этих точках?

2. На плоскости нарисована клякса площадью меньше единицы. Доказать, что её можно сдвинуть так, что она не будет закрывать ни одну точку с целыми координатами.

3. В стране Анчурии проходит математический конгресс, в котором принимают участие 100 математиков. За несколько дней до окончания конгресса в оной стране происходит переворот и военная хунта захватывает власть. Глава хунты, полковник Фидель Аугусто Чавес, приказывает всех математиков арестовать. Но полковник, в сущности, добрейшей души человек. Вот он приходит в тюрьму к математикам, и говорит такую речь:
"Мы тут, разумеется, решили вас всех расстрелять. Но я хочу дать вам шанс. В соседней комнате лежит 100 карточек. На одной стороне у них числа от 1 до 100, а на обратной - ваши имена. Вы будете по одному заходить в комнату, где карточки будут лежать числами вверх. Каждый может перевернуть 95 карточек. Если каждый из вас, переворачивая карточки, найдет свое собственное имя - тогда всех прикажу отпустить. А вот если хоть один не найдет - тогда уж всех расстреляют..."
Оцените шансы того, что для математиков все кончится хорошо.

Поясню условие последней задачи: на каждой карточке только одно имя и только одно число, числа и имена не повторяются. Каждый проходит через комнату с карточками один и только один раз. Перед началом процесса математики могут между собой договориться о чем угодно, но тот, кто уже прошел через комнату, не может передать никакой информации остальным (и, перед тем как зайдет следующий, карточки переворачивают обратно числами вверх). Естественно, карточки непрозрачны, и на них ничего рисовать нельзя. Менять их расположение тоже смысла нет - все равно к приходу следующего все перемешают.


Все можно решить в уме, даже первую, хоть она и была типа самой сложной задачей на какой-то международной олимпиаде. В третьей главное стратегию придумать, и сразу станет ясно, что шансы не так плохи, как кажется.


Это я прочитал http://avva.livejournal.com/2672659.html, и тоже решил поделиться :)

Comments

[mathclimber.livejournal.com]

Да, думаю что я знаю, какой фокус имеется в виду :)

[papa-lyosha.livejournal.com]

Удивительно, что даже если математикам разрешать переворачивать только 50 карточек, то остается удивительно большой шанс спастись (30%).
А что за фокус?

[mathclimber.livejournal.com]

Я поменял 50 на 95 потому что
а) математиков жалко;
б) когда можно открывать 95, с вероятностью 0,91 уже самый первый математик выйдет из комнаты будучи абсолютно уверенным, что спасутся все!

Фокус, я думаю, такой. Фокусник предлагает группе человек из 10 вытащить по одной карте из колоды, и запомнить её. (Или, скажем, записать имя какого-нибудь знаменитого человека на бумажке, не суть важно.) Затем эти карты кладутся на стол рядом с фокусником, рубашкой вверх. Фокусник говорит, что сейчас эти карты назовёт, одну за другой. Вот он водит рукой над первой картой, говорит "дама пик!", переворачивает карту, не показывая её зрителям, ругается, говорит, что звёзды не так сошлись, и угадать не удалось. Зато все остальные карты он "угадывает" верно. Просто называя предыдущую открытую им карту :)

[plinioseviltwin.livejournal.com]

Тоже в тему, но я имел в виду другой.

Ведущий перед зрителем раскладывает веером колоду, рубашкой вверх. Просит зрителя показать, например, десятку пик (карты произвольные и каждый раз разные). Зритель показывает на карту пальцем, ведущий забирает ее себе в руку. Затем ведущий просит показать еще какую-нибудь карту, например, семерку треф, зритель показывает, ведущий забирает в руку. Дальше ведущий говорит "Ну а короля червей я покажу сам" и забирает в руку еще одну карту. Затем ведущий вскрывает руку, и там оказывается правильный набор.

Как ему это удалось? Перед тем, как разложить колоду, во время перемешивания, ведущий запоминает одну из карт (десятка пик) и ее местоположение. Проще всего подсмотреть самую нижнюю карту, но при определенной ловкости можно запомнить и карту из середины колоды. А дальше понятно.

Разница в том, что тут цикл действительно замыкается, нету такого, что "звезды не так сошлись". Думаю, что Ваш фокус я бы раскусил сразу, о вот описанный выше, когда мне его показывали, я сразу не раскусил :)

[mathclimber.livejournal.com]

Забавный фокус! Но моя жена его сразу раскусила :)

[netot42.livejournal.com]

существует "неприятная" возможность того, что игрок случайно попадет на подсмотренную карту - она тем меньше, чем больше карт на столе - для ее минимизации выложим полную колоду - а тут уже можно и не подсматривать :)))

[mathclimber.livejournal.com]

Если он случайно попадёт на эту карту - то тогда фокус закончен, к всеобщему удивлению и удовольствию :)