Вероятностная задачка,

[mathclimber]

на интуицию. Пусть есть группа из 1001 человека, и каждый бросает (честную) монету. А потом сообщает результат. Нас интересует, кого окажется больше, орлов или решек.

Очевидно, вероятность каждого из этих событий составляет ровно 1/2, если никто не жульничает. Группа злоумышленников, желая, чтобы орёл победил, сговаривается сообщить, что выпал орёл (независимо от того, что у них выпало на самом деле).

[Poll #1970151]
Имеется в виду, конечно, что остальные люди играют честно.

Понятное дело, предлагается именно интуитивно угадать, не производя расчётов.


Ответ: минимальный размер группы = 22 человека; вероятность их победы получается примерно 0.759

Comments

[udod.livejournal.com]

Если мужики бросают - орлов и наоборот

[alien3.livejournal.com]

Интуиция меня подвела. :-)

Ответ восхитил. Как оказывается...

[dims12.livejournal.com]

"Вероятность победы" -- есть вероятность того, что выпадет более 1/2 орлов или более 3/4 орлов?

[ahiin.livejournal.com]

Первый пункт выбрал, недолет.

[dims12.livejournal.com]

Такое впечатление, что жуликов должно быть очень немного. Интегральное распределение имеет резкий перепад от 0 до 1 в районе 500,5 человек и, чтобы сдвинуть его на 3/4 понадобится 1-2 человека.

[dims12.livejournal.com]

Однако, при ближайшем рассмотрении графика получается, что около десяти человек

[dims12.livejournal.com]

А, забыл подправить распределение в связи с переходом части голосующих в стан лоббистов... Ну тогда ещё побольше...

[mathclimber.livejournal.com]

>1/2

[deep-grey-angel.livejournal.com]

А можно расчет в студию?

[mathclimber.livejournal.com]

Ну, всё-таки, типичное отклонение пропорционально корню из N...

[dims12.livejournal.com]

Моя интуиция промолчала, а проведённый расчёт ничем не удивил. Возможно, я ошибся в расчётах и правильный расчёт меня-таки удивит. Подождём правильного ответа.

[dims12.livejournal.com]

Точно, об этом рассуждении я позабыл.

[mathclimber.livejournal.com]

Если в группе злоумышленников N человек, то вероятность, что решка победит = P[X>500], где X имеет биномиальное распределение с параметрами 1001-N и 1/2. А дальше можно через нормальную аппроксимацию, но проще найти в интернете какой-нибудь binomial probability calculator :)

[mathclimber.livejournal.com]

Так ведь, ответ под спойлером. N=22

[dims12.livejournal.com]

А, точно, опять стормозил. Ну да, я такой ответ и дал. В смысле 16-25. Ну я и говорю: число, как число. Ничего в нём удивительного. Не большое и не маленькое, в самый раз.

[mathclimber.livejournal.com]

Ну да. Но сколько ответов "101 или больше"!..

[mathclimber.livejournal.com]

Да, можно было просто написать "группа орлов" :)

[mathclimber.livejournal.com]

Подвела в "большую" сторону?

На самом деле, неплохая иллюстрация того, как организованная группа подчиняет себе "аморфную массу".

[dims12.livejournal.com]

И вот такие лоббисты непропорционально тратят деньги в нашей Госдуме :)

[alien3.livejournal.com]

Да, в большую. :-)
Иллюстрация великолепная. Напомнила игру в "мафию". :-)

Вероятностная задачка

[livejournal.livejournal.com]

Пользователь dr_slabinsky сослался на вашу запись в своей записи «Вероятностная задачка (http://dr-slabinsky.livejournal.com/628918.html)» в контексте: [...] Предлагаю проверить свою интуицию, забавная задачка! По ссылке интересная вероятностная задачка [...]

[deep-grey-angel.livejournal.com]

Сенкс.

[rip1999.livejournal.com]

Увы мне! - я не понял вопроса (не вчитался в условия задачи, но и, честно сказать(!), сформулирован он несколько нечётко) - поэтому дал нижний ответ - про 101 и более.

[mathclimber.livejournal.com]

А как лучше было бы сформулировать?

[falcao.livejournal.com]

Я такого рода опросы тоже люблю устраивать, поэтому интересно было поучаствовать.

Интуитивно мне казалось, что хватит где-то десяти "заговорщегов", поэтому я почти без колебаний выбрал первый вариант ответа. То, что их нужно примерно вдвое больше, меня весьма удивило.

Кстати, я сейчас проделал вычисления, и если считать точно, то там видно, что ответ равен 22, а через нормальную аппроксимацию получается, что этого значения чуть-чуть не хватает, и нужно 23. То есть там всё-таки точность приближения получается "пограничная", и её для получения правильной оценки недостаточно.

[mathclimber.livejournal.com]

Taм интуитивно такое рассуждение: среднеквадратическое отклонение биномиального распределения с параметрами N и 1/2 есть (корень из N)/2. Если М - размер группы заговорщиков, то надо, чтоб остальные отклонились в большую сторону на М/2 (если б заговорщики играли честно, у них бы всё равно получилось около М/2 орлов). Т.е. М/2 должно быть несколько меньше, чем (корень из N)/2. Т.е., где-то 20-25.

Тут, наверное, еще сложность, что надо сообразить про отклоняться на М/2, а не на М.

[falcao.livejournal.com]

Корень я извлекал, и даже делил на 2, но мне показалось, что реальная величина должна быть меньше. Тут ведь ещё надо как-то представлять себе квантиль нормального распределения, соответствующую вероятности 1/4, так как от неё всё зависит. Точного представления о том, чему она равна, у меня не было. Я думал, что она поменьше, чем оказалось на самом деле. А в таблицы я уже потом заглянул.

[mathclimber.livejournal.com]

Это у меня профессиональное, что я квантили нормального распределения примерно помню. Мне ж нередко приходится преподавать элементарную статистику студентам.