Задачка

[mathclimber]

a то что-то давно уже не. Итак, берём куб с ребром длины 1, вращаем его случайным образом, и проектируем на плоскость. Найти матожидание площади проекции.

Comments

[a-shen.livejournal.com]

а почему именно куб? вроде для всех выпуклых тел одно и то же (пропорционально площади поверхности), разве нет?

[mogilevtsev.livejournal.com]

Распределение Максвелла заставляете вспомнить? ;)

[papa-lyosha.livejournal.com]

3/2?

[beard-rus.livejournal.com]

1 кв м?

[ahiin.livejournal.com]

Тривиум же;)

[plinioseviltwin.livejournal.com]

Понятно, что ответ для куба будет таким же, как и для любого (выпуклого, "измеримого") тела, а именно будет иметь вид a*S, где S - площадь поверхности тела, а a - некоторая константа, одинаковая для всех тел (потому что это верно для кусочка плоскости, а поверхность тела можно приблизить такими кусочками - треугольниками). Остается только найти a.

Пусть у нас в R^3 есть кусочек плоскости единичной площади. Что такое случайное вращение? Обычно под этим подразумевается случайность по инвариантной мере на группе SO(3). Есть стандартная параметризация SO(3) углами Эйлера, но нам они даже не понадобятся, т.к. площадь проекции зависит только от направления нормали к нашему кусочку плоскости, а нормаль равномерно распределена по сфере S^2, так что обойдемся всего лишь сферическими координатами \phi и \psi. Площадь проекции есть |\sin(\phi)|. Вычисление интеграла по сфере от |\sin(\phi)| дает среднюю площадь 1/2. Т.е. a=1/4, а конкретно для единичного куба ответ 1.5.