Вопрос: как доказываются теоремы?

[mathclimber]

Ответ: а хрен их знает.

Последние пару дней я пытался посчитать (= найти возможно более точную формулу) вероятность такого события: выходя из некой точки x, двумерное случайное блуждание не попадёт в красный и синий круги до выхода на чёрную окружность. Красный круг - маленький, чёрный - большой, а синий - большой по отношению к красному и маленький по отношению в чёрному. Красный и чёрный круги - концентрические. Оба цветных круга малы по отношению к расстоянию между ними.



В общем, пытался, пытался, и ни фига. А сегодня поздним утром проснулсо, и бац: первой же смутною мыслию - решение. Оказалось, всё очень просто.

Смотрите:


Во-первых, понятно, что можно считать через броуновское движение, и КМТ-аппроксимацию. Но решать задачу Дирихле в такой хитрожопой области Mathematica мне отказалась. Ну и не надо! А то знаю я этот прикол - выдадут замечательную точную формулу через какой-нибудь условно сходящийся ряд, и попробуй её примени потом хоть для чего-то полезного. А мы люди простые, будем лучше действовать так. Обозначим (см. картинку):

• q - вероятность попасть в красный круг раньше чем в синий, до выхода на чёрную окружность


• p - тоже самое, только красное с белым синим меняем местами


• h - вероятность попасть в красный круг до выхода на чёрную окружность (про синий - пофиг)


• h' - idem с синим


• Q - вероятность, выходя из точки на красном круге, зайти в синий до выхода на чёрную окружность (можно доказать, что эта вероятность не особенно зависит от выбора той точки)


• Q' - ну понятно,

и тогда 1-p-q - это как раз то, что нам надо.


Ну да, ясное дело, h и Q' можем посчитать. Логарифм евклидовой нормы - мартингал, юзаем теорему об опциональной остановке, профит. Но с h' и Q как, синяя хрень не в центре же?

Так ведь проще простого - берём подходящее преобразование Мёбиуса, которое оставляет единичный диск (ну, который чёрный - типа, сменили масштаб, не предупредив читателя) в покое, а синий круг фигачит в центр. И считаем всё так же, ибо вероятности нужных событий Мёбиус не меняет. Помню-помню, сам не так давно рассказывал студентам про конформную инвариантность броуновского движения.

И последний шаг: пишем
h = q + p Q'
h' = p + q Q,
и решаем относительно p и q. Вот простая же штука, ну почему так долго мучился?..

Comments

[yudaev.livejournal.com]

Ничего не понятно. Может, из-за опечаток? h, Q' два раза.
"Ну да, ясное дело, h и Q' можем посчитать. Логарифм евклидовой нормы - мартингал, юзаем теорему об опциональной остановке, профит. Но с h' и Q как, синяя хрень не в центре же?"

[mathclimber.livejournal.com]

Так ведь, сначала штрих на h, а потом - на Q.