Вспомнил про задачку,
Apr. 5th, 2016 03:10 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
mathclimber(вот эту), надо ж решение объяснить. Напоминаю условие:
На плоскости раскиданы N точек, причём известно, что площадь треугольника с вершинами в любой тройке из этих точек не превосходит 1. Докажите, что существует треугольник площади 4, который содержит все эти N точек.
Решение.
Из множества всевозможных треугольников выберем тот, у которого наибольшая площадь (если таковых несколько, то можно взять любой из них). Пусть это синий треугольник на картинке. Построим (оранжевый) треугольник с параллельными нашему сторонами, проходящими через вершины; очевидно, площадь оранжевого треугольника в четыре раза больше, чем синего.
Докажем, что все точки должны лежать в этом оранжевом треугольнике. В самом деле, пусть имеется точка y где-то вне. Тогда мы сможем образовать треугольник большей площади, как показано на рисунке. Но это противоречит нашему предположению, что у синего треугольника наибольшая из возможных площадь. Q.E.D.
На плоскости раскиданы N точек, причём известно, что площадь треугольника с вершинами в любой тройке из этих точек не превосходит 1. Докажите, что существует треугольник площади 4, который содержит все эти N точек.
Решение.
Из множества всевозможных треугольников выберем тот, у которого наибольшая площадь (если таковых несколько, то можно взять любой из них). Пусть это синий треугольник на картинке. Построим (оранжевый) треугольник с параллельными нашему сторонами, проходящими через вершины; очевидно, площадь оранжевого треугольника в четыре раза больше, чем синего.
Докажем, что все точки должны лежать в этом оранжевом треугольнике. В самом деле, пусть имеется точка y где-то вне. Тогда мы сможем образовать треугольник большей площади, как показано на рисунке. Но это противоречит нашему предположению, что у синего треугольника наибольшая из возможных площадь. Q.E.D.
