mathclimber: (south park - rammstein)
Предположим, вы участвуете в телешоу, и ведущий предлагает вам сыграть в следующую игру. Есть 50 монет достоинством в 1 пиастр и 51 монетa достоинством в 5 пиастров; их кладут в ряд на стол, в случайном порядке. Два игрока берут монеты по очереди, причём брать можно только крайнюю (т.е., самую левую либо самую правую) монету. Натурально, побеждает тот, кто наберёт больше денег.

Ведущий спрашивает вас: "вы хотите начинать, или будете тянуть вторым? Что предпочитаете?" (монеты еще пока не разложили).

Итак, ваш выбор! Как поступить?
mathclimber: (south park - rammstein)
(вот эту), надо ж решение объяснить. Напоминаю условие:

На плоскости раскиданы N точек, причём известно, что площадь треугольника с вершинами в любой тройке из этих точек не превосходит 1. Докажите, что существует треугольник площади 4, который содержит все эти N точек.

Решение )
mathclimber: (south park - rammstein)
Однако, что-то я давно красивых задачек не постил. Исправляюсь.

На плоскости раскиданы N точек, причём известно, что площадь треугольника с вершинами в любой тройке из этих точек не превосходит 1. Докажите, что существует треугольник площади 4, который содержит все эти N точек.
mathclimber: (south park - rammstein)
http://mathoverflow.net/questions/224814/probability-questions

"The probability that a new drug prevents infection by a certain flu strain is 40%. What is the probability that the drug will be effective in one out of 5 exposed persons? ( can someone please answer in detail and explain every step?)"

Последняя фраза просто запредельно прекрасна   :)
mathclimber: (south park - rammstein)
Штука на этой картинке - есть т.н. Пуассоновский процесс линий.  Как оно определяется формально - не суть важно; интуитивно, мы "случайно" бросаем прямые линии на плоскость так, чтобы получившаяся картинка была инвариантна относительно движений.

lines
Из соображений симметрии абсолютно ясно, что направление "типичной" прямой равномерно распределено. Рассмотрим теперь какую-нибудь фиксированную прямую (красненькая, на картинке), хоть одну из уже нарисованных, хоть даже ось абсцисс. Так вот, нетрудно убедиться что распределение "типичного" угла пересечения с этой прямой уже не равномерно (на самом деле, там плотность пропорциональна синусу угла пересечения). Но, с вероятностью 1, все прямые из процесса пересекают данную, т.е., направления там одни и те же.

Другими словами, "типичная прямая" - это совсем не то же самое, что "типичная прямая, пересекающaя данную", хотя, казалось бы, речь идёт об одном и том же множестве.

Парадокс, да?    :)
mathclimber: (south park - rammstein)
Оригинал взят у [livejournal.com profile] avva в история о пишущей машинке киллиана

Мы говорили с А. о том, чего я опасаюсь в школьном образовании (и моя Юля, и его Т. в этом году пошли в первый класс).

Одна из вещей, которые меня беспокоят, сказал я, это социальное давление на девочек в сторону от естественных наук. Я читал например американские исследования, согласно которым до 6-го класса девочки показывают одинаковые с мальчиками результаты по математике и желание ее изучать, а после 6-го начинается расхождение, и к концу школы намного больше мальчиков интересуются науками, да и "гики" почти все мальчики. При этом в школах с раздельным обучением этого эффекта нет или он намного меньше (трудно судить, т.к. таких мест осталось мало, данных недостаточно). Значит, можно предположить, что это эффект давления среды, а не врожденной склонности.

Ну хорошо, сказал А., предположим, действительно есть давление среды. Почему тебя это так беспокоит? Ты что, хочешь обязательно, чтобы твоя дочь выросла и стала программистом?

Не утрируй, сказал я, необязательно программистом. Но вообще-то... я понимаю, конечно, что боги смеются над нашими планами и желаниями относительно будущего детей. Но никто не может мне запретить желать и предпочитать, даже если все случится совсем по-другому. Если быть честным с собой, то я предпочитаю и хочу, чтобы моя дочь получила образование "физика", а не "лирика". Если можно оба, тоже хорошо, но если выбирать - то физика. Я хочу, чтобы она знала зачатки математики, физики, умела программировать, умела работать с числами. Я не говорю о будущей профессии или призвании - это совсем другое отдаленное дело. Я даже необязательно говорю о высшем образовании с формальной точки зрения - мышлению и привычкам "физика" можно научиться и самостоятельно. Так что на самом деле не столь уж много я желаю - а может, окажется, что слишком многого. Но мне это важно.

Почему? - спросил А. Вот этого я как раз не могу понять - почему это тебе важно? Что если она будет чистым гуманитарием? Что если у нее будет работа, никак не связанная с программированием, а математику она будет помнить как что-то ужасное из школьных лет? Чем это будет плохо - не для тебя, а для нее?

Я подумал и сказал в ответ: я могу объяснить это, но для этого нужна история. Я расскажу тебе историю о пишущей машинке Киллиана.
Read more... )

mathclimber: (south park - rammstein)
a то что-то давно уже не. Итак, берём куб с ребром длины 1, вращаем его случайным образом, и проектируем на плоскость. Найти матожидание площади проекции.
mathclimber: (south park - rammstein)
в эрфрансовском журнале:
IMG_1674_1_1

Узнаёте?
mathclimber: (south park - rammstein)
Ответ: а хрен их знает.

Последние пару дней я пытался посчитать (= найти возможно более точную формулу) вероятность такого события: выходя из некой точки x, двумерное случайное блуждание не попадёт в красный и синий круги до выхода на чёрную окружность. Красный круг - маленький, чёрный - большой, а синий - большой по отношению к красному и маленький по отношению в чёрному. Красный и чёрный круги - концентрические. Оба цветных круга малы по отношению к расстоянию между ними.

escape0

В общем, пытался, пытался, и ни фига. А сегодня поздним утром проснулсо, и бац: первой же смутною мыслию - решение. Оказалось, всё очень просто.

Смотрите:

Смотреть )
mathclimber: (south park - rammstein)


Все новости - про первую женщину-математика получившую Филдсовскую медаль, ну а я уж про наших. То, что Артуру дали эту медаль - для нас очень хорошо. Теперь нам, бразильским математикам, достанется еще больше денег.

Про остальных лауреатов: с Хайрером я знаком, и могу оценить то, что он сделал (да, очень круто). Про других не могу сказать ничего.
mathclimber: (south park - rammstein)
на интуицию. Пусть есть группа из 1001 человека, и каждый бросает (честную) монету. А потом сообщает результат. Нас интересует, кого окажется больше, орлов или решек.

Очевидно, вероятность каждого из этих событий составляет ровно 1/2, если никто не жульничает. Группа злоумышленников, желая, чтобы орёл победил, сговаривается сообщить, что выпал орёл (независимо от того, что у них выпало на самом деле).

[Poll #1970151]
Имеется в виду, конечно, что остальные люди играют честно.

Понятное дело, предлагается именно интуитивно угадать, не производя расчётов.


Ответ: минимальный размер группы = 22 человека; вероятность их победы получается примерно 0.759
mathclimber: (south park - rammstein)
ученики защищаются. Вот, вчера (парень в красной майке рядом со мной; остальные - члены экзаменационной комиссии):
IMG_20140430_130729108_1

Интересно, что папа вчерашнего именинника тоже был моим учеником, защитился 13 лет назад (эх, хотел найти его фотографию, и не нашел; а его с нами уже нет...). Но с Кайо (вчерашний аспирант) у меня уже достигнута договорённость: если его сын пойдёт в математику, то будет делать у меня Ph.D. (надеюсь, он особо долго с детьми тянуть не будет, а то можно и не дождаться и выйти на пенсию). Тады я в книгу рекордов попаду - буду научруком у трёх поколений! :)
mathclimber: (south park - rammstein)
в октябрьском номере Notices of the American Mathematical Society: "Teaching mathematics with women in mind".

Первая мысль: "наверное, это непросто...".
mathclimber: (south park - rammstein)
1. Ладья посещает каждую клетку шахматной доски ровно один раз и возвращается на исходную позицию. На каждом ходу она переходит на соседнюю клетку. Маршрут ладьи замкнут и представляет собой (невыпуклый) многоугольник без самопересечений (имеется в виду что маршрут проходит через центры клеток). Найти все возможные значения, которые может принимать площадь этого многоугольника (площадь каждой клетки равна 1).

2. "Король-самоубийца". На доске белый король, и три чёрные ладьи. Цель короля - встать под бой одной из ладей. Докажите, что эта сомнительная затея увенчается успехом (т.е., существует такая стратегия короля, что ...), что бы ладьи ни делали.


P.S. Для тех, кто знает формулу Пика: в первой задачке желательно бы обойтись без нея.
mathclimber: (south park - rammstein)
1. Эта задачка широко известна и очень проста, но всё равно пусть тут будет. От шахматной доски отпилили два угловых поля, a1 и h8. Можно ли то, что осталось, покрыть костяшками домино? Имеется в виду, что каждая костяшка занимает ровно два (соседних) поля, и покрывать надо без наложений.

2. Гроссмейстер Х. и гроссмейстер Р. вечерком и далее анализировали дебюты и эндшпили с коньячком и водочкой. Когда не осталось ни коньячка, ни водочки, ни фигур на шахматной доске, гроссмейстеры увидели как на эту доску высаживаются много маленьких зелёных чертей, и занимают там восемь клеток: d4, e4,  и еще шесть каких-то других. Далее, на каждом ходу колония зелёных чертей захватывает одну из клеток, у которой в соседях не меньше двух уже захваченных (здесь имеются в виду соседи только по вертикали/горизонтали, т.е., "диагональные соседи" не считаются); если таковых клеток нет, то колония больше не растёт.
Утешьте гроссмейстеров, докажите, что зелёные черти не смогут захватить всю шахматную доску.
mathclimber: (south park - rammstein)
В смысле, задачки про неё.

1. Имеется матрица n x n составленная только из нулей и единиц, и такая, что все ее собственные значения суть действительные строго положительные числа. Докажите, что тогда все эти собственные значения равны единице.

2. Докажите, что для любого n можно расставить числа 1,2,...,в квадратную матрицу n x n так, что получившаяся матрица будет полного ранга. Причём, please, докажите это не по индукции  :)


P.S. Как говорил один хороший приятель моего научного руководителя, "кто знает матрицы - тот говно".  Если задачки эти не получаются, не огорчайтесь   :)
mathclimber: (south park - rammstein)
про опровержение теории вероятностей. Вот:

Comments: The strategy needs to be revised in order to yield the proposed positive expected gain claimed in the paper

http://arxiv.org/abs/1309.7608

Дал бы ему кто из коллег какую-нибудь книжку про мартингалы почитать, а то ведь мучается человек...

Profile

mathclimber: (Default)
mathclimber

April 2016

S M T W T F S
     12
34 56789
101112131415 16
17 181920212223
24252627282930

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 24th, 2017 04:26 am
Powered by Dreamwidth Studios