mathclimber: (south park - rammstein)
Предположим, вы участвуете в телешоу, и ведущий предлагает вам сыграть в следующую игру. Есть 50 монет достоинством в 1 пиастр и 51 монетa достоинством в 5 пиастров; их кладут в ряд на стол, в случайном порядке. Два игрока берут монеты по очереди, причём брать можно только крайнюю (т.е., самую левую либо самую правую) монету. Натурально, побеждает тот, кто наберёт больше денег.

Ведущий спрашивает вас: "вы хотите начинать, или будете тянуть вторым? Что предпочитаете?" (монеты еще пока не разложили).

Итак, ваш выбор! Как поступить?
mathclimber: (south park - rammstein)
(вот эту), надо ж решение объяснить. Напоминаю условие:

На плоскости раскиданы N точек, причём известно, что площадь треугольника с вершинами в любой тройке из этих точек не превосходит 1. Докажите, что существует треугольник площади 4, который содержит все эти N точек.

Решение )
mathclimber: (south park - rammstein)
Однако, что-то я давно красивых задачек не постил. Исправляюсь.

На плоскости раскиданы N точек, причём известно, что площадь треугольника с вершинами в любой тройке из этих точек не превосходит 1. Докажите, что существует треугольник площади 4, который содержит все эти N точек.
mathclimber: (south park - rammstein)
Что-то я совсем забыл, что за мной должок. Не, то есть с банком худо-бедно разобрались (мой коллега перевёл туда денег, а я ему потом отдам при встрече). Но вот объяснить решение всё-таки надо, а то не все ж тут математики...

Напоминаю условия задачи. Есть банковская карточка, на ней много денег. Карточкой расплачиваются, не особо следя при этом за состоянием счёта. Если на счету еще есть деньги, то банк авторизует платёж, даже если пытаемся заплатить бóльшую сумму, чем есть на счету. Когда уходим в минус - карточка блокируется и больше платить нельзя.

Вопрос: сколько, в среднем, вы будете должны банку когда карточку заблокируют? Предположим, для простоты, что каждый платёж - случайная величина с равномерным распределением на отрезке от нуля до 300 евро (ну, грубо говоря, выбираем случайное число от 1 до 300, и его платим).

Смотреть решение... )
mathclimber: (south park - rammstein)
Вероятностная задачка. Для незнакомых с тервером, попробуйте просто интуитивно угадать сколько получится, хотя бы приблизительно.

Итак, есть банковская карточка, на ней много денег. Карточкой расплачиваются, не особо следя при этом за состоянием счёта. Если на счету еще есть деньги, то банк авторизует платёж, даже если пытаемся заплатить бóльшую сумму, чем есть на счету. Когда уходим в минус - карточка блокируется и больше платить нельзя.

Внимание, вопрос: сколько, в среднем, вы будете должны банку когда карточку заблокируют? Предположим, для простоты, что каждый платёж - случайная величина с равномерным распределением на отрезке от нуля до 300 евро (ну, грубо говоря, выбираем случайное число от 1 до 300, и его платим).

Эти французские карточки, сцуко, и правда работают таким образом. Теперь после праздников придётся решать проблему, причём уже из другой страны.
mathclimber: (south park - rammstein)
Это вот кусочек нашего Университета, так называемый Ciclo Básico:
IMG_2224_1_2
Там много больших аудиторий, и посему именно там читают "базовые" курсы студентам с самых разных факультетов.

Около столба в центре кадра стоит картонная коробка. Вот она более крупным планом:
IMG_2224_1_1_1

А теперь внимание, вопрос: как вы думаете, что находится в черном ящике коробке?
mathclimber: (south park - rammstein)
IMG_1757_1_1

Это моя кофеварка, знакомьтесь. Вот думаю, еще немного подождать, и таки оно со мной заговорит? Или помыть всё же?..
mathclimber: (south park - rammstein)
a то что-то давно уже не. Итак, берём куб с ребром длины 1, вращаем его случайным образом, и проектируем на плоскость. Найти матожидание площади проекции.
mathclimber: (south park - rammstein)
как вы думаете, на каком языке текст над окном?
DSC_0162_1_1

Отгадка )
mathclimber: (south park - rammstein)
на интуицию. Пусть есть группа из 1001 человека, и каждый бросает (честную) монету. А потом сообщает результат. Нас интересует, кого окажется больше, орлов или решек.

Очевидно, вероятность каждого из этих событий составляет ровно 1/2, если никто не жульничает. Группа злоумышленников, желая, чтобы орёл победил, сговаривается сообщить, что выпал орёл (независимо от того, что у них выпало на самом деле).

[Poll #1970151]
Имеется в виду, конечно, что остальные люди играют честно.

Понятное дело, предлагается именно интуитивно угадать, не производя расчётов.


Ответ: минимальный размер группы = 22 человека; вероятность их победы получается примерно 0.759
mathclimber: (south park - rammstein)
Вчера, засыпая, и созерцая прикроватную тумбочку, придумалась такая задачка:

1. 2
2. 5
3. 5
4. 4
5. 5
6. 6
7. 3
8. 7
9. ?

Угадавший сразу поймёт, что стоит на моей тумбочке.
mathclimber: (south park - rammstein)
задачка. Постройте такой пример: N зависимых случайных величин, однако же любые N-1 среди них - независимы.
mathclimber: (south park - rammstein)
всё с той же планеты Фиганака. При переборе разных классических сюжетов для вечерней сказки сыну, без Человека-Невидимки не обошлось. Ну, он у меня сначала был жуликом, но потом исправился, и стал помогать полиции, а также работать фокусником в цирке. Еще он как-то раз проехался по городу на машине, вызвав панику (типа, машина без водителя, жють), а потом поучаствовал в забеге и выиграл его (а "лидер" с удивлением наблюдал, как финишная ленточка улетает сама). И после того забега, все вечерние сказки стали несколько однообразны: невидимый человек должен поучаствовать в каких-нибудь гонках, желательно победить или разделить первое место, и получить кубок, медаль, и много денег. В случае дележа первого места, в программе еще совместный поход всех победителей в ресторан ("... и все подружились!").

Значится, гонки уже были

  • на велосипедах;

  • на мотоциклах;

  • на самолётах;

  • на поездах по кольцевой линии московского метрополитена (заезды парами, один едет в одну сторону, другой - в другую);

  • на слонах;

  • на черепахах (пришлось особо уточнить, что черепахи - не ниндзя);

  • на гигантских ящерицах (каждый участник должен предварительно поймать свое транспортное средство в ближайшей пустыне, подманив оное на кусок пиццы с мармеладом, анчоусами, и халапеньо);

  • на распашных восьмёрках, на традиционной гонке команд Оксенфорда и Камбрюке (если кому интересно, Камбрюке победил);

  • на жирафах в городе с интенсивным троллейбусным движением (основная сложность: жирафы имеют тенденцию задевать шеями за провода, и за порчу проводов Начальник Транспортного Цеха дисквалифицировал спортсменов; приходилось, в общем, заставлять бедных животных вовремя наклонять шею посильнее вперёд);

  • может, еще что-то было, сейчас не припомню.



Даже и не знаю, на чём поедем завтра. А пока задачка на сообразительность: на финише жирафной гонки, наш герой ехал с другим спортсменом ноздря в ноздрю. Каким способом он (н.ч.) обошёл соперника в самом конце?
mathclimber: (south park - rammstein)
1. Ладья посещает каждую клетку шахматной доски ровно один раз и возвращается на исходную позицию. На каждом ходу она переходит на соседнюю клетку. Маршрут ладьи замкнут и представляет собой (невыпуклый) многоугольник без самопересечений (имеется в виду что маршрут проходит через центры клеток). Найти все возможные значения, которые может принимать площадь этого многоугольника (площадь каждой клетки равна 1).

2. "Король-самоубийца". На доске белый король, и три чёрные ладьи. Цель короля - встать под бой одной из ладей. Докажите, что эта сомнительная затея увенчается успехом (т.е., существует такая стратегия короля, что ...), что бы ладьи ни делали.


P.S. Для тех, кто знает формулу Пика: в первой задачке желательно бы обойтись без нея.
mathclimber: (south park - rammstein)
1. Эта задачка широко известна и очень проста, но всё равно пусть тут будет. От шахматной доски отпилили два угловых поля, a1 и h8. Можно ли то, что осталось, покрыть костяшками домино? Имеется в виду, что каждая костяшка занимает ровно два (соседних) поля, и покрывать надо без наложений.

2. Гроссмейстер Х. и гроссмейстер Р. вечерком и далее анализировали дебюты и эндшпили с коньячком и водочкой. Когда не осталось ни коньячка, ни водочки, ни фигур на шахматной доске, гроссмейстеры увидели как на эту доску высаживаются много маленьких зелёных чертей, и занимают там восемь клеток: d4, e4,  и еще шесть каких-то других. Далее, на каждом ходу колония зелёных чертей захватывает одну из клеток, у которой в соседях не меньше двух уже захваченных (здесь имеются в виду соседи только по вертикали/горизонтали, т.е., "диагональные соседи" не считаются); если таковых клеток нет, то колония больше не растёт.
Утешьте гроссмейстеров, докажите, что зелёные черти не смогут захватить всю шахматную доску.
mathclimber: (south park - rammstein)
В смысле, задачки про неё.

1. Имеется матрица n x n составленная только из нулей и единиц, и такая, что все ее собственные значения суть действительные строго положительные числа. Докажите, что тогда все эти собственные значения равны единице.

2. Докажите, что для любого n можно расставить числа 1,2,...,в квадратную матрицу n x n так, что получившаяся матрица будет полного ранга. Причём, please, докажите это не по индукции  :)


P.S. Как говорил один хороший приятель моего научного руководителя, "кто знает матрицы - тот говно".  Если задачки эти не получаются, не огорчайтесь   :)
mathclimber: (south park - rammstein)
Какая связь между этим вот раскладом:
pref

и утверждением "в полиномиальных кольцах любой идеал допускает примарное разложение"?

Бонус: а как, собственно, поймать упавшего?
mathclimber: (south park - rammstein)
на этот раз совсем простые.

1. Чисто для разминки, на скорость: eq1

2. На окружности имеется N шариков одинаковой массы, размерами коих можно пренебречь. Они движутся с одинаковыми скоростями либо по, либо против часовой стрелки. Столкновения можно считать абсолютно упругими. Доказать, что движение периодическое.

3. Докажите, что для любых положительных чисел a,b,c,d выполнено неравенство
eq2
Выглядит, конечно, довольно занудно, но эта задача имеет очень наглядное (я бы даже сказал, физическое :) ) решение, где ничего считать не надо.



Предыдущая серия: http://mathclimber.livejournal.com/32371.html

Profile

mathclimber: (Default)
mathclimber

April 2016

S M T W T F S
     12
34 56789
101112131415 16
17 181920212223
24252627282930

Syndicate

RSS Atom

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 24th, 2017 04:26 am
Powered by Dreamwidth Studios