mathclimber: (south park - rammstein)
Пусть Bn(x) - полином Бернштейна неубывающей функции f на отрезке [0,1], см. определения здесь. Докажите что, для любого n, и сам полином Bn суть есть неубывающая функция на этом отрезке.
mathclimber: (south park - rammstein)
Что-то я совсем забыл, что за мной должок. Не, то есть с банком худо-бедно разобрались (мой коллега перевёл туда денег, а я ему потом отдам при встрече). Но вот объяснить решение всё-таки надо, а то не все ж тут математики...

Напоминаю условия задачи. Есть банковская карточка, на ней много денег. Карточкой расплачиваются, не особо следя при этом за состоянием счёта. Если на счету еще есть деньги, то банк авторизует платёж, даже если пытаемся заплатить бóльшую сумму, чем есть на счету. Когда уходим в минус - карточка блокируется и больше платить нельзя.

Вопрос: сколько, в среднем, вы будете должны банку когда карточку заблокируют? Предположим, для простоты, что каждый платёж - случайная величина с равномерным распределением на отрезке от нуля до 300 евро (ну, грубо говоря, выбираем случайное число от 1 до 300, и его платим).

Смотреть решение... )
mathclimber: (south park - rammstein)
Вероятностная задачка. Для незнакомых с тервером, попробуйте просто интуитивно угадать сколько получится, хотя бы приблизительно.

Итак, есть банковская карточка, на ней много денег. Карточкой расплачиваются, не особо следя при этом за состоянием счёта. Если на счету еще есть деньги, то банк авторизует платёж, даже если пытаемся заплатить бóльшую сумму, чем есть на счету. Когда уходим в минус - карточка блокируется и больше платить нельзя.

Внимание, вопрос: сколько, в среднем, вы будете должны банку когда карточку заблокируют? Предположим, для простоты, что каждый платёж - случайная величина с равномерным распределением на отрезке от нуля до 300 евро (ну, грубо говоря, выбираем случайное число от 1 до 300, и его платим).

Эти французские карточки, сцуко, и правда работают таким образом. Теперь после праздников придётся решать проблему, причём уже из другой страны.
mathclimber: (south park - rammstein)
Штука на этой картинке - есть т.н. Пуассоновский процесс линий.  Как оно определяется формально - не суть важно; интуитивно, мы "случайно" бросаем прямые линии на плоскость так, чтобы получившаяся картинка была инвариантна относительно движений.

lines
Из соображений симметрии абсолютно ясно, что направление "типичной" прямой равномерно распределено. Рассмотрим теперь какую-нибудь фиксированную прямую (красненькая, на картинке), хоть одну из уже нарисованных, хоть даже ось абсцисс. Так вот, нетрудно убедиться что распределение "типичного" угла пересечения с этой прямой уже не равномерно (на самом деле, там плотность пропорциональна синусу угла пересечения). Но, с вероятностью 1, все прямые из процесса пересекают данную, т.е., направления там одни и те же.

Другими словами, "типичная прямая" - это совсем не то же самое, что "типичная прямая, пересекающaя данную", хотя, казалось бы, речь идёт об одном и том же множестве.

Парадокс, да?    :)
mathclimber: (south park - rammstein)
a то что-то давно уже не. Итак, берём куб с ребром длины 1, вращаем его случайным образом, и проектируем на плоскость. Найти матожидание площади проекции.
mathclimber: (south park - rammstein)
на интуицию. Пусть есть группа из 1001 человека, и каждый бросает (честную) монету. А потом сообщает результат. Нас интересует, кого окажется больше, орлов или решек.

Очевидно, вероятность каждого из этих событий составляет ровно 1/2, если никто не жульничает. Группа злоумышленников, желая, чтобы орёл победил, сговаривается сообщить, что выпал орёл (независимо от того, что у них выпало на самом деле).

[Poll #1970151]
Имеется в виду, конечно, что остальные люди играют честно.

Понятное дело, предлагается именно интуитивно угадать, не производя расчётов.


Ответ: минимальный размер группы = 22 человека; вероятность их победы получается примерно 0.759
mathclimber: (south park - rammstein)
задачка. Постройте такой пример: N зависимых случайных величин, однако же любые N-1 среди них - независимы.
mathclimber: (south park - rammstein)
Такое случается каждый год, в первую неделю августа. Речь идёт о нашей ежегодной вероятностной конференции, "Escola Brasileira de Probabilidade", она же "Brazilian School of Probability" (проверил: гуглится прекрасно). В нескольких словах: райский пляж, шум моря, хорошие и сильные (в смысле математики) люди (все филдсовские лауреаты по верояти у нас уже отметились, и не раз), и зачастую еще и вкусная еда. Читать дальше, 12 фото )
mathclimber: (south park - rammstein)
Конечно, все знают про Канторову лестницу, она непрерывная функция, неубывающая, в нуле - ноль, в единице - единица. Тем не менее, её производная равна нулю почти всюду.

А что будет, если мы захотим построить функцию с подобными свойствами, но не просто неубывающую, а строго возрастающую?

Рассмотрим такую конструкцию:
1) берем единичный квадрат, в нем берем случайную (равномерную) точку
2) в левом нижнем и правом верхнем прямоугольниках тоже выбираем случайные точки независимо
3) в четырех "диагональных" прямоугольниках выбираем по случайной точке независимо
4) и т.д., см. картинку:
cantor
Получающиеся точки определяют единственную непрерывную всюду возрастающую функцию f(x). Можно показать, что у нее есть такое свойство, как и у Канторовой лесницы: производная почти всюду существует и равна нулю (хотя функция строго возрастает во всех точках).

Это конструкция давно известна (Дубинс и Фридман обнаружили её в шестидесятых годах прошлого века), но несколько подзабыта.

Однако, вопрос: а знает ли кто-нибудь неслучайную конструкцию подобной функции (т.е., надо чтоб g(0)=0, g(1)=1, строго возрастает, но производная равна нулю почти всюду)?
mathclimber: (Default)
Не того, который Рассел, про брадобрея и диагональный аргумент, а того, который Жозеф Луи Франсуа. Состоит в следующем.

Задача: есть окружность, там случайным образом проводим хорду. Какова вероятность события
А={хорда получилась длиннее, чем сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность}?


Ответ зависит от того, как именно мы будем эту хорду выбирать. А именно, есть такие три метода (можно и больше, но хватит и этого пока):

Читать дальше; это мой пост в math_ru (пусть будет и здесь)... )

Profile

mathclimber: (Default)
mathclimber

July 2017

S M T W T F S
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031     

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 24th, 2017 07:19 pm
Powered by Dreamwidth Studios